Die dunkle Seite

Ich muss gestehen, ich habe es nicht so mit Statisik. Da befinde ich mich bekanntlich in guter Gesellschaft, denn Winston Churchill soll einmal gesagt haben, "es gibt Lügen, gottverdammte Lügen und Statistik". Ich bin versucht hinzuzufügen: Ach ja, und Bayessche Statistik. In einem Buch, das ich gerade lese, bin ich nämlich hierüber gestolpert:




Ich kann lesen, was da steht, ich kann mich auch auf den Kopf stellen und mit den Füßen wackeln, aber es will mir irgendwie nicht einleuchten, dass die Restwahrscheinlichkeit, wenn eines von drei Hütchen aufgedeckt ist, sich anders verteilen sollte als 50:50. Warum sollte, wenn die Kugel unter Hütchen A liegt, die Wahrscheinlichkeit, dass der Meister Hütchen B lüftet, 100 Prozent sein, wenn er doch auch C aufdecken könnte, wo ebenfalls keine Kugel ist? Was für A gilt, muss doch genauso für C gelten, und die Information, dass wir nach dem ersten Zug des Meisters wissen, unter Hütchen B war keine Kugel, ändert daran meines Erachtens gar nichts.

Aber wahrscheinlich müsste man es einfach lange genug auswürfeln.

erreicht mich folgender Link (vielen Dank dafür nochmal von dieser Stelle). Spontan erscheint mir die dortige Darstellung des Ziegenproblems etwas einleuchtender, und ich muss mal gucken, ob und wie ich das mit dem Hütchenbeispiel im Buch in Übereinstimmung kriege. So wie ich das Ziegenbeispiel verstehe, ist der Wechsel weg von der ursprünglich gewählten Tür der entscheidende Move, um die Wahrscheinlichkeit zu eigenen Gunsten zu erhöhen. Demgegenüber habe ich das Beispiel im Buch eher so verstanden, dass für A eine a priori höhere Gewinn-Wahrscheinlichkeit spräche als für C, wenn der Meister das Hütchen B aufgedeckt hat, und der Wechsel empfehle sich nur, wenn der Spieler anfangs das Hütchen C ausgeguckt hätte.

Also heißt das, entweder habe ich das Hütchenbeispiel nicht richtig durchdrungen oder die Verfasserin hat es nicht verstanden, das Ziegenbeispiel so in eine andere Analogie zu kleiden, dass es immer noch einleuchtet.

Es hilft vielleicht zum Verständnis, wenn man weiß, dass der Bayessche Ansatz durch eine andere Definition von Wahrscheinlichkeiten charakterisiert wird und eigentlich den traditionell frequentistischen Ansatz kritisiert. P(A) ist nach Bayes also gewissermaßen die mit Vorwissen gewichtete Plausibilität des Eintretens von A.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem fairen Würfel exakt eine bestimmte Ausprägung zu würfeln, beträgt grundsätzlich 1/6, das heißt, dass ich bei hundertmaligem Würfeln in Summe etwa 16 Mal die Eins würfeln werde, etwa 16 Mal die Zwei, ... Je größer die Zahl an Würfen, desto besser wird der Wert von 1/6 approximiert. Wenn ich nach einer größeren Zahl an Würfen immer wieder die Drei herausbekomme, dann würde gemäß dem traditionellen Ansatz die Wahrscheinlichkeit, eine weitere Drei zu würfeln, wiederum 1/6 sein. Bayes nutzt nun aber diese Information aus den vorherigen Würfen und verwendet sie für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der künftigen Würfe.

Dieser Ansatz ist nicht frei von Kritik, aber in bestimmten Fällen durchaus vielversprechend. Vielleicht noch ein Beispiel, das gut in die Dunkelkammer passt: Ich bin ein ziemlicher Pechvogel, was Fahrraddiebstähle anbelangt. An unserem früheren Wohnort wurde tatsächlich zwei Mal hintereinander mein Fahrrad entwendet. Nun könnte man sich, unter der Annahme, dass es hierzu verlässliche Daten gäbe, die Häufigkeit von Fahrraddiebstählen in diesem Stadtviertel ausrechnen, die möglicherweise ausgesprochen gering ist. Ich könnte also diesen offiziellen Wert modifizieren, indem ich meine scheinbar erhöhte Chance, bestohlen zu werden, berücksichtige. Wenn ich zwei Mal bestohlen wurde und der Nachbar drei Häuser weiter noch nie, dann sollte man nach Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass ich auch noch ein drittes Mal bestohlen werde, höher ansetzen als die, dass mein Nachbar ein Mal bestohlen wird. Gewissermaßen ist dies der Versuch, Unsicherheit quantifizierbar zu machen.

Zurück zum Beispiel mit dem Magiermeister:

In der Ausgangssituation trägt die (Laplace-)Wahrscheinlichkeit, dass sich die Kugel unter einem Hütchen befindet:



Deckt man ein Hütchen auf, wodurch noch zwei verbleiben, in denen sich in einer die Kugel befinden muss, ergibt sich eine (Laplace-)Wahrscheinlichkeit von



wie Sie richtig ausgeführt haben. Mit dem Bayesschen Ansatz sieht das nun etwas anders aus. Sie beruht auf Plausibilitätsannahmen. Es ist plausibel, dass der Meister das Spiel nicht vorzeitig beenden möchte, insofern hat er mit der ursprünglichen Entscheidung, B (und nicht A) aufzudecken, eine relevante Information mitgeliefert. Mit dem Bayes-Theorem (das man herleiten könnte) sieht das wie folgt aus:



Wobei P(A) die Priori-Wahrscheinlichkeit ist (bevor der Magier das B-Hütchen aufdeckt), P(A|B) kann man demnach als Posteriori-Wahrscheinlichkeit bezeichnen.

Hier ist auch noch ein gutes Beispiel.

Also, das stimmt. Und ich habe damals(tm) auch eine Weile gebraucht, bis ich mich damit abgefunden hatte. :-)
Ich habe gerade nochmal eine Simulation geschrieben und das 1 Mio mal laufen lassen mit folgendem Ergebnis:

Finished playing 1000000 games of each type
Successful games when initial choice was not changed: 332677 (33.27 %)
Successful games when changing the initial choice: 666607 (66.66 %)

Das Python-Script zur Simulation kannst Du Dir hier herunterladen und selbst nochmal mit herumspielen:
http://www.fallenbeck.com/pub/game.py

Wie häufig (statistisch gesehen) wissen Akte-X-Seher mehr. In Improbable nämlich lässt Burt Reynolds als Gott mit solchen Hütchenspielertricks die Wahrscheinlichkeiten durcheinanderfliegen. Dieser Bayes-Ansatz führt dann wohl dahin, daß es eben doch keine Wahrheit da draußen gibt, wie es übliche statistische Modelle suggerieren. (Das aber nur als Nebenbemerkung für die weitere Forschung.)